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悬臂梁问题¶

类别： 仿真优化

使用 OptAgent 的 Python 接口描述变量、约束与目标。

问题与原始示例来源：Hexaly Code Templates。

问题描述¶

悬臂梁问题 由设计 I 型梁的横截面组成,以使梁在一定应力下不会变形或破坏的情况下获得最小体积。有关更多详细信息,请参阅 Wikipedia。我们记 L、H、h1、b1 和 b2 为梁的尺寸。

梁的体积由下式给出:

$V = f(H, h_1, b_1, b_2) = \left[2h_1b_1 + \left(H - 2h_1\right)b_2\right]L$

约束条件为:

• 梁根部处的最大弯曲应力,定义为:

  $g_1(H, h_1, b_1, b_2) = \frac{P L H}{2I}$

• 梁尖端处的最大挠度,定义为:

  $g_2(H, h_1, b_1, b_2) = \frac{P L^3}{3EI}$

学习要点¶

• 使用浮点变量表示连续尺寸，用整数索引选择离散尺寸。
• 使用模型数组按决策表达式查表。
• 将应力、挠度与体积写成表达式，添加约束并最小化体积。

建模思路¶

悬臂梁问题的 OptAgent 模型使用整型和浮点型决策变量。H、b1、b2 声明为浮点型决策变量,定义域分别为 [3.0, 7.0]、[2.0, 12.0] 和 [0.1, 2.0]。最后一个变量 h1 是离散的:它表示索引集合 {0, 1, ..., 7} 中的整数,通过数组查表映射到一组可行取值 {0.1, 0.26, 0.35, 0.5, 0.65, 0.75, 0.9, 1.0}。

弯曲应力、挠度和体积直接由模型表达式计算，转动惯量 I 是中间表达式。模型约束应力不超过 5000、挠度不超过 0.10，并最小化体积。

Python 实现¶

from pathlib import Path

from optagent import OptModel, solve




def main(output_file=None, time_limit=10):
    load = 1000
    elasticity = 10.0e6
    length = 36
    possible_values = [0.1, 0.26, 0.35, 0.5, 0.65, 0.75, 0.9, 1.0]

    model = OptModel()
    possible_values_array = model.array(possible_values)

    height = model.float(3.0, 7.0)
    h1_index = model.int(0, len(possible_values) - 1,
    )
    b1 = model.float(2.0, 12.0)
    b2 = model.float(0.1, 2.0)
    h1 = possible_values_array[h1_index]

    inertia = (1.0 / 12.0) * b2 * (height - 2 * h1) ** 3 + 2 * (
        (1.0 / 12.0) * b1 * h1**3 + b1 * h1 * (height - h1) ** 2 / 4.0
    )
    bending_stress = load * length * height / (2 * inertia)
    tip_deflection = (load * length**3) * (3 * elasticity * inertia) ** -1
    volume = (2 * h1 * b1 + (height - 2 * h1) * b2) * length

    model.constraint(bending_stress <= 5000)
    model.constraint(tip_deflection <= 0.10)
    model.minimize(volume)

    solution = solve(model, time_limit_s=float(time_limit))
    result_values = {'volume': volume.value, 'height': height.value, 'h1': h1.value, 'b1': b1.value, 'b2': b2.value, 'bending_stress': bending_stress.value, 'tip_deflection': tip_deflection.value}
    result_text = (
        f"Status = {solution.feasible}; Volume = {result_values['volume']}\n"
        f"H = {result_values['height']}\n"
        f"h1 = {result_values['h1']}\n"
        f"b1 = {result_values['b1']}\n"
        f"b2 = {result_values['b2']}\n"
        f"Bending stress = {result_values['bending_stress']}\n"
        f"Tip deflection = {result_values['tip_deflection']}"
    )
    print(result_text)
    if output_file is not None:
        Path(output_file).write_text(result_text + "\n", encoding="utf-8")
    return solution

本地运行¶

悬臂梁模型不需要外部实例文件，直接调用 main 即可；调整 time_limit 可以控制求解时间。

solution_cantilevered_beam = main(time_limit=1)